Matricea unui operator liniar în diferite baze

matrice operator liniar se modifică atunci când schimbă baza spațiului liniar. Găsim relația dintre matricele operatorului liniar în diferite baze ale unui spațiu vectorial.

Teorema 5.8 (pe matricea de conectare a unui operator liniar în diferite baze). Să. - baze în spațiul liniar. Matricea și operator în bazele. legate de

unde - matricea de tranziție de la baza la baza.

# 9633; Lăsați vectorii în bazele. corespund vectorilor coloanelor. un vector coloană vector. Apoi, prin matricea (5.1), avem

unde matricea unui operator liniar în bazele. .

Mai mult, în cazul în care există o matrice de tranziție de k. utilizând formula de transformare de coordonate la trecerea de la bază la bază, obținem

ceea ce implică validitatea egalității (5.2). # 9632;

Teorema 5.9. Determinantul matricei unui operator liniar este independent de alegerea bazei.

# 9633; Să presupunem că în bazele. Are o matrice corespunzătoare. Apoi, pe baza (5.2) și factorii determinanți ai proprietăților pe care le avem

Conform Teorema 5.9 prin schimbarea bazei spațiului liniar variază operatorul matricei și determinantul ei, cu toate acestea, rămâne neschimbat. Deci, acest determinant este caracterizat printr-o matrice care nu specifică a operatorului în această bază, și operatorul. Acest lucru ne permite să introducem următoarea definiție.

definiția 5.7.Opredelitelem unui operator liniar. acționând într-un spațiu liniar se numește determinantul matricei operatorului, în orice mod.

Teorema 5.10. operator liniar Rank coincide cu rangul matricei operatorului.

Exemplul 5.1. Scrieți matricea unui operator liniar. predeterminată conform regulii

Găsiți un grad de imagine, defectul de bază și formează o bază a kernel-ului.

Decizie. Găsim imaginile vectorilor:

Pentru elaborarea matricei unui operator liniar în vectorii de bază vom găsi coeficienții de expansiune ale vectorilor de bază. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolve un sistem de ecuații (vezi. Definiția unui operator liniar matrice)

Fiecare din ecuațiile sistemului decid separat. Prima ecuație poate fi rescrisă ca

Rezolvarea acestei ecuații, obținem coordonatele vectoriale coloană ale vectorului în baza:

Rezolvarea ecuații similare cu celelalte două, obținem coordonatele vectorilor de coloană de vectori în baza:

Ca rezultat, matricea unui operator liniar în baza formularului

Pentru a găsi linia de kernel este necesară pentru a rezolva sistemul de ecuații omogen cu matricea. Găsirea soluției sale generale, obținem nucleul operatorului, fiecare vector are forma

Evident, dimensiunea kernel-ului (defectul) este

vector bază în nucleu - vectorul coloană

Dimensiunea imaginii operatorului (rangul operatorului) este

Pentru a găsi imaginea pe baza de investigare a sistemului de dependență liniară a vectorilor și a determina sistemul maxim de vectori liniar independenți. Compoziția matricei, și am da forma de trepte (ca rezultat al transformărilor elementare ale coloanelor de numere s-au schimbat):

Din forma unei matrice în trepte, care formează baza vectorilor de imagine.