Cum de a găsi un operator liniar

1) Fie A # 8209; proiecția ortogonală a vectorului pe planul xOy în spațiu tridimensional obișnuit. Liniaritatea acestei transformări rezultă din faptul că proiecția sumei vectorului este egală cu suma termenilor proeminențelor și proiecția produsului vectorial al numărului egal cu produsul dintre proiecțiile vectorului de acest număr. Dacă - vectori unități ale sistemului de coordonate cartezian, este evident că

2) În spațiul Un operator liniar în matricea bază este stabilită

Conform formulei avem

3) Baza matricea A are

Găsiți matricea operatorului A în baza. Matricea de tranziție. și matricea inversă. Prin urmare,

Ecuația caracteristică a matricei A are forma

Rădăcinile sale. Sunt vectorii proprii din următoarele două sisteme de ecuații:

În cazul în care acest lucru - ecuația. din care ne găsim - prima direcție proprie. Când avem o ecuație u - a doua direcție proprie.

Normalizând vectorii. obținem

Să baza inițială -. atunci:

De tip matrice de transformare liniara depinde de alegerea bazei. Dacă luați ca bază un set de vectori proprii, atunci matricea unei transformări liniare ia formă diagonală, în cazul în care diagonala principală sunt valorile proprii. De exemplu, în spațiul bidimensional al matricei sale. Transformarea liniara este de forma astfel de bază.

În acest exemplu,

5) Găsiți vectori și valori proprii ale unei transformări liniare, o matrice predeterminată, în unele baze

Formam ecuația caracteristică a matricei A.

Găsit eigenvalue unei transformări liniare substituim în ecuația

în cazul în care - eigenvector.

unde t - orice valoare nenulă, un număr real.