Cum de a face un grafic al ecuației pătratice

Graficul ecuației pătratice formei ax 2 + bx + c sau (x - h) 2 + k este un parabole (curba în formă de U). Pentru a reprezenta grafic această ecuație este necesar să se găsească în partea de sus a parabolei, direcția și punctul de intersecție cu axele X și Y. Dacă vi se administrează o ecuație pătratică relativ simplu, puteți înlocui diferite valori „x“, găsiți valoarea corespunzătoare a „y“ și trage un grafic .

pași Editare

Pentru a reprezenta grafic trebuie să găsească valorile numerice ale coeficienților a, b, c (sau, h, k). Majoritatea problemelor sunt ecuații pătratice cu valorile numerice ale coeficienților.

• De exemplu, în standardul ecuația f (x) = 2x 2 + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
• De exemplu, în nestandardizat ecuația f (x) = 4 (x - 5) 12 + 2, a = 4, h = 5, k = 12.

Calculați h într-o ecuație etalon (într-un non-standard, a fost deja dată) cu formula: h = -b / 2a.

• In exemplul nostru, standardul ecuația f (x) = 2x 2 + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
• În acest exemplu, ecuația personalizată f (x) = 4 (x - 5) 12 2 + h = 5.

Se calculează ecuația standard k (deja dată într-un non-standard, l). Amintiți-vă că k = f (h), care este, puteți găsi k, înlocuind în ecuația inițială valoarea obținută h în loc de „x“.

• Ai găsit că h = -4 (pentru ecuația standard). Pentru a calcula k substitut această valoare în loc de „x“:
  • k = 2 (-4) 2 + 16 (-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.
  • k = 32-64 + 39 = 7
• Într-o ecuație k non-standard = 12.

Se aplică coordonate de top (h, k) pe planul de coordonate. h este reprezentată grafic pe axa X și k - Y. Partea superioară a axei parabolei este fie punctul cel mai jos (în cazul în care o parabolică orientată în sus) sau punctul cel mai de sus (în cazul în care o parabolică orientată în jos).

• In exemplul nostru, vârful ecuația standard are coordonatele (-4, 7). Aplicați acest punct pe planul de coordonate.
• În acest exemplu, vârf ecuație personalizată are coordonatele (5, 12). Aplicați acest punct pe planul de coordonate.

Se efectuează o axă de simetrie a parabolei (nu este obligatoriu). Axa de simetrie trece prin vârful parabolei paralelă cu axa Y (adică vertical). Axa de simetrie a parabolei se împarte în jumătate (adică oglinda parabolică relativ simetrică față de această axă).

• In exemplul nostru, standardul axa ecuație simetrie este o linie paralelă cu axa Y și care trece prin punctul (-4, 7). Deși această linie nu face parte din parabolei în sine, dă o idee de simetrie a parabolei.

Determină direcția de parabole - în sus sau în jos. Este foarte ușor de făcut. În cazul în care coeficientul „a“ este pozitiv, parabole orientat în sus, iar în cazul în care coeficientul de „un“ este negativ, parabola este îndreptată în jos.

• In exemplul nostru, standardul ecuația f (x) = 2x 2 + 16x + 39 parabolei îndreptat în sus, ca = 2 (coeficient pozitiv).
• În acest exemplu, ecuația personalizată f (x) = 4 (x - 5) 2 + 12a și parabole îndreptat în sus, ca = 4 (coeficient pozitiv).

Dacă aveți nevoie pentru a găsi și se aplică punctul de axa X intersecție Aceste puncte vă va ajuta foarte mult în construirea unei parabole. Pot exista două, unul sau nici unul (dacă un parabole îndreptat în sus și vertexului se află deasupra axei X sau dacă parabolei este îndreptată în jos, iar vârful său se află sub axa X). Pentru a calcula coordonatele punctelor de intersecție cu axa X, efectuați următorii pași:

• Echivala ecuație la zero: f (x) = 0 și să o rezolve. Această metodă funcționează cu ecuații pătratice simple (în special tipul non-standard), dar poate fi extrem de dificil în cazul unor ecuații complexe. În exemplul nostru:
  • f (x) = 4 (x - 12) 2 - 4
  • 4 = 0 (x - 12) 2 - 4
  • 4 = 4 (x - 12) 2
  • 1 = (x - 12) 2
  • √1 = (x - 12)
  • +/ -1 = x -12. Punctele de intersecție ale unei parabole cu coordonatele axelor X sunt (11,0) și (13,0).
• Spread ecuația pătratică la factorii de formă standard: ax 2 + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), unde dx x fx = ax 2. (dx x g + fx x e) = bx, e xg = c. Apoi Echivala fiecare binom la 0 și de a găsi valorile lui „x“. De exemplu:
  • x 2 + 2x + 1
  • = (X + 1) (x + 1)
  • În acest caz, există un punct unic de intersecție a unei parabole cu axa X a coordonatelor (-1.0), deoarece, atunci când x + 1 = 0 x = -1.
• Dacă nu poate fi descompusă în ecuație factori, decid să utilizeze formula de calcul a rădăcinilor pătrate ale ecuației: x = (-b +/- √ (b 2 - 4ac)) / 2a.
  • De exemplu: -5x 2 + 1 x + 10.
  • x = (-1 +/- √ (1 2 - 4 alineatul (-5) (10))) / 2 (-5)
  • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- √ (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
  • x = (13,18 / -10) și (-15.18 / -10). Punctele de intersecție cu parabole axele X au coordonatele (-1,318,0) și (1,518,0).
  • In exemplul nostru, ecuația standard a formei 2x 2 + 16x + 39:
  • x = (-16 +/- √ (16-04 februarie (2) (39))) / 2 (2)
  • x = (-16 +/- √ (256-312)) / 4
  • x = (-16 +/- √ (-56) / - 10
  • Deoarece rădăcina pătrată a unui număr negativ este imposibil, atunci parabole nu se intersectează axa X.

Dacă aveți nevoie pentru a găsi și de a aplica la punctul Y. axa de intersecție Este foarte simplu - substitut x = 0 în ecuația originală și pentru a găsi valoarea „y“. Punctul de intersecție cu axa Y este întotdeauna unul. Notă: în ecuațiile de forma punctului de intersecție standard, are coordonatele (0, s).

• De exemplu, parabolică ecuația de gradul doi 2x 2 + 16x + 39 intersectează axa Y la punctul cu coordonatele (0, 39) ca și c = 39. Dar este posibil și se calculează:
  • f (x) = 2x 2 + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0) 2 + 16 (0) + 39
  • f (x) = 39, adică o ecuație pătratică parabolei intersectează axa Y la punctul cu coordonatele (0, 39).
• In acest exemplu, forma non-standard al ecuației 4 (x - 5) 2 + 12 intersecția cu axa Y se calculează după cum urmează:
  • f (x) = 4 (x - 5) 2 + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5) 2 + 12
  • f (x) = 4 (-5) 2 + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12
  • f (x) = 112, adică, o ecuație pătratică parabolei intersectează axa Y la punctul cu coordonatele (0, 112).

Ați găsit (și aplicat), vârful parabolei, direcția și punctul de intersecție cu axele X și Y. Puteți construi un parabole prin aceste puncte sau a găsi și de a aplica puncte suplimentare și apoi a construi un parabole. Pentru acest substitut unele valori „x“ (pe ambele părți de sus) în ecuația inițială, pentru a calcula valorile corespunzătoare ale „y“.

• Să ne întoarcem la ecuația x 2 + 2x + 1. Știți deja că punctul de intersecție al graficului acestei ecuații cu axa X este punctul cu coordonatele (1,0). În cazul în care parabola are un singur punct de intersecție cu axa X, care este vârful parabolei se află pe axa X. În acest caz, un punct este insuficient pentru construirea corectă a parabolei. Deci, să ia câteva puncte în plus.
  • Fie x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
  • x = 0: f (x) = (0) 2 + 2 (0) + 1 = 1. Coordonatele punctului (0,1).
  • x = 1: f (x) = (1) 2 + 2 (1) + 1 = 4. Coordonatele punctului (1,4).
  • -2 x =: f (x) = (-2) 2 + 2 (-2) + 1 = 1. Coordonatele punctului (-2,1).
  • -3 x =: f (x) = (-3) 2 + 2 (-3) + 1 = 4. Coordonatele punctului (-3,4).
  • Se aplica punctul de pe planul de coordonate și de a construi parabole (puncte de conectare în formă de U curbe). Vă rugăm să rețineți că parabolei este absolut simetric - orice punct de pe o ramură a parabolei se poate răsturna (în raport cu axa de simetrie), în cealaltă ramură a parabolei. Acest lucru vă va economisi timp, deoarece nu aveți nevoie pentru a calcula coordonatele punctelor de pe ambele ramuri ale parabolei.