Cinematica unui punct material - formulele și exemple de rezolvare a problemelor cinematice

În acest capitol discutat, în principal metode de rezolvare a problemelor, în care legea de mișcare este exprimată în termeni așa numitele mod natural: ecuația s = f (t) de-a lungul unei căi predeterminate *.

* Soluțiile de probleme în care legea de mișcare este dată metoda de coordonate, discutate mai târziu în acest capitol (§ 31).

În acest caz, principalii parametri ce caracterizează mișcarea unui punct, ci un traseu predeterminat, sunt: ​​s - distanța de la o poziție inițială predeterminată și t - timp.

O cantitate ce caracterizează la un moment dat în direcția timpului și viteza de deplasare a unui punct, numit viteza (v în Fig. 192). Vectorul de viteză este întotdeauna direcționată de-a lungul tangentei direcția în care se deplasează de punct. Valoarea numerică a vitezei la un moment dat și-a exprimat derivat de la distanță în raport cu timpul:
v = ds / dt sau v = f „(t).

Accelerarea unui punct în orice moment dat caracterizează rata de schimbare a vitezei. Trebuie înțeles clar că viteza - vector, și, prin urmare, schimbarea vitezei poate avea loc în două moduri: printr-o valoare numerică (valoare absolută) și direcția.

Modulul Rata de schimbare a vitezei tangenta caracterizat (tangensalnym) accelerare - componentă a accelerației totale a, tangențial la traiectoria (vezi Figura 192 ..).

Valoarea numerică a accelerației tangențială este în general determinat prin formula
at = dv / dt sau la = f '' (t).

Rata de schimbare a vitezei se caracterizează printr-o direcție centripetă accelerație (normal) al unui - component al accelerației în total, care este direcționat de-a lungul normalei la traiectoria spre centrul de curbură (vezi Figura 192 ..).

Valoarea numerică a accelerației normale este determinată, în general, prin formula
o = v 2 / R,
în cazul în care v - a vitezei modulului punct în acest moment;
R - raza de curbură a traiectoriei într-un loc unde există un punct în acest moment.

Odată identificat accelerația tangențială și normală determină cu ușurință și accelerare a (punct accelerație maximă).

Deoarece tangenta și perpendiculara normală unul de altul, valoarea numerică a accelerației a poate fi determinată folosind teorema lui Pitagora:
a = sqrt (la 2 + 2 o).

Direcția unui vector poate fi determinată de relațiile trigonometrice, una dintre următoarele formule:
sin α = o / a; cos α = la / a; tg α = o / at.

Dar este posibil mai întâi pentru a determina direcția de accelerație complet, folosind formula tg α = o / at.
și apoi găsi valoarea numerică a unei:
a = o / sin α sau a = la / cos a.

accelerația tangențială și normale sunt principalele puncte ale cantităților cinematice care determină tipul și caracteristicile punctului.

Prezența accelerației tangențială (la ≠ 0) sau absența (la = 0) este determinat punctul respectiv inegale sau fluiditate.

Prezența unei accelerație normală (un ≠ 0) sau absența (o = 0) definesc mișcarea curbilinie sau rectilinie a punctului.

punctul mișcării pot fi clasificate după cum urmează:
a) liniar uniform (la = 0 și un = 0);
b) uniform curbate (la = 0 și un ≠ 0);
c) rectilinie neuniforma (la ≠ 0 și un = 0);
g) o inegală curbată (la ≠ 0 și un ≠ 0).

Astfel, mișcarea punctului este clasificat în două moduri: în funcție de gradul de mișcare non-uniformitate în aparență și traiectoria.

Gradul de neuniformitate a punctului definit de ecuația s = f (t), și forma traiectoriei specificate direct.

§ 27. mișcare uniformă rectilinie a unui punct

Dacă la = 0 și o = 0, atunci vectorul viteză rămâne constantă (v = const), t. E. Nu se schimbă valoarea absolută sau direcție. Această mișcare se numește rectilinie uniform.

Ecuația de mișcare este uniform
(A) s = s0 + vt
sau în cazul particular când s0 distanța inițială = 0,
(B) s = vt.

În ecuația (a) include toate cele patru valori ale acestor două variabile: s și t, și două constante: s0 și v. Prin urmare, în problema de puncte uniforme și mișcare rectilinie trebuie să fie specificate toate trei valori.

În rezolvarea problemelor este necesar pentru a afla toate valorile specificate și să le aducă la același sistem de unități. Trebuie remarcat faptul că în sistemul de sistem metric gravitațional (tehnic), iar unitatea SI a valorilor cinematice sunt aceleași: distanța s este măsurată în metri, timpul t - în secunde, viteza v - m / s.

§ 28. Uniform punctul de mișcare curbilinie

Dacă la = 0 și un ≠ 0, atunci modulul rămâne neschimbat de viteză (punctul se mișcă uniform), dar direcția este schimbat și punctul curvedly se mișcă. In caz contrar, în timpul mișcării uniform de-a lungul unui punct de traseu curbat ea are o accelerație normală îndreptată de-a lungul normalei la calea și este numeric egală cu






o = v 2 / R,
unde R - raza de curbură a traiectoriei.

În cazul particular al punctului de pe circumferința (sau arcul de cerc), raza de curbură a traiectoriei la toate punctele de constanta:
R = r = const,
precum și valoarea numerică a vitezei constante,
o = v 2 / r = const.

În valoare numerică de viteza de mișcare uniformă determinată prin formula
v = (s - s0) / t sau v = s / t.

Dacă punctul de a lua o rula pe deplin circumferențial, s este lungimea căii de circumferință, adică s = 2πr = πd (d = 2r - diametru) ...., Și timpul egal cu perioada, adică t = T. Rata de exprimare devine
v = 2πr / T = πd / T.

§ 29. Punctul de mișcare uniform accelerată

Dacă vectorul la = const (accelerația tangențială este constantă atât în ​​mărime și direcție), apoi o = 0. Această mișcare se numește ravnoperemennym și directă.

În cazul în care singura constanta este valoarea numerică a tangenta ecuației
at = dv / dt = f „(t) = const,
apoi un ≠ 0 și o mișcare a unui punct numit ravnoperemennym curbat.

Când | la |> 0 mișcare uniform accelerată a unui punct se numește. și la | la |<0 - равнозамедленным.

Ecuația de mișcare uniform accelerată, indiferent de calea sa este forma
(1) s = s0 + v0 t + t la 2/2.

Aici S0 - distanța punctului din poziția de referință la pornire; v0 - viteză inițială și la - accelerația tangențială - valoare este numeric constantă, o s și t - variabile.

Valoarea numerică a vitezei în orice moment de timp determinată din ecuația
(2) v = v0 + la t.

Ecuațiile (1) și (2) sunt formulele de bază ale mișcării uniform accelerate și conțin șase valori diferite: trei constante: s0. v0. iar la trei variabile: s, v, t.

Prin urmare, pentru a rezolva problema pe punctul de mișcare uniform accelerată în starea ei ar trebui să aibă cel puțin patru variabile (sistem de două ecuații pot fi rezolvate numai în cazul în care conțin două necunoscute).

Daca nu sunt incluse în cele două ecuații de bază, de exemplu, nu este cunoscut și t, apoi pentru comoditatea de a rezolva astfel de probleme derivate formule auxiliare:

În cazul special în care valorile inițiale s0 = 0 și v0 = 0 (mișcare uniform accelerată de repaus), obținem aceeași formulă într-o formă simplificată:
(5) s = t la 2/2;
(6) v = la t;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2AT).

Ecuațiile (5) și (6) sunt de bază, iar ecuațiile (7) și (8) - auxiliar.

mișcare accelerată Uniform de repaus, care apare numai sub influența gravitației, se numește cădere liberă. Pentru a aplica această mișcare cu formula (5) - (8), în care
la = g = 9,81 m / s2 ≈ m 9,8 / s 2.

§ 30. mișcarea neregulată a punctului de pe orice traiectorie

§ 31. Determinarea traiectoriei, viteza și accelerația punctelor, dacă legea mișcării sale este definită în formă de coordonate

Dacă punctul se deplasează în raport cu un sistem de coordonate, coordonatele punctului de schimbare a lungul timpului. Ecuațiile care exprimă dependența funcțională a coordonatelor punctului în mișcare de timp, denumit ecuațiile punctelor de mișcare într-un sistem de coordonate (a se vedea. § 51, n. 2 în manualul E. M. Nikitina).

Deplasarea unui punct în spațiu definit de cele trei ecuații:
x = f1 (t);
(1) y = f2 (t);
z = f3 (t);

(. Figura 203) Deplasarea unui punct din planul este definit de două ecuații:
(2) x = f1 (t);
y = f2 (t);

Sistemele de ecuații (1) sau (2), numit legea de mișcare a unui punct în formă de coordonate.

Mai jos considerăm mișcarea unui punct într-un plan este utilizat astfel încât numai sistemul (2).

În cazul în care legea de mișcare a unui punct specificat în formularul de coordonate, atunci:

a) o traiectorie plană a punctului exprimată prin ecuația
y = F (x),
care este format din ecuațiile de mișcare după eliminarea timpului t;

b) valoarea numerică a vitezei punctului este determinată din formula
v = sqrt (vx 2 + vy 2)
după o determinare preliminară a proeminențelor (vezi. fig. 203) viteza de pe axele de coordonate
vx = dx / dt și vy = dy / dt;

c) o valoare numerică a accelerației este determinată de formula
a = sqrt (ax 2 + ay 2)
după o determinare preliminară a accelerației proiecțiilor pe axele de coordonate
ax = DVX / dt și ay = DVY / dt;

g) direcțiile vitezei și accelerației în raport cu axele de coordonate sunt determinate din relațiile trigonometrice dintre viteza sau accelerație vectori și proiecțiile acestora.

§ Metoda 32. cinematică pentru determinarea razei de curbură a traiectoriei

În rezolvarea multor probleme tehnice, este necesar să se cunoască raza de curbură R (sau 1 / R - curbate) calea. Dacă este setat ecuația traiectoriei, raza de curbură în orice punct poate fi determinat prin calcul diferențial. Folosind ecuațiile de mișcare a unui punct de coordonate în formă, este posibilă determinarea razei de curbură a traiectoriei punctului în mișcare, fără studii directe ecuația traiectoriei. Determinarea razei de curbură a traiectoriei prin ecuațiile de mișcare a unui punct în forma numită modul cinematic de coordonate. Această metodă se bazează pe faptul că raza de curbură a traiectoriei punctului în mișcare este inclus în formula
o = v 2 / R,
exprimând valoarea numerică a accelerației normale.

Viteza punct v se determină prin formula
(B) v = sqrt (vx 2 + vy 2).

o accelerare a valorii numerice normale este inclusă în expresia completă a punctului de accelerație
a = sqrt (un 2 + la 2),
de unde
(C) o = sqrt (2 - la 2),
unde pătrat a accelerației totale
(G) a 2 = ax 2 + ay 2
și accelerația tangențială
(D) la = dv / dt.

Astfel, în cazul în care legea de mișcare a punctului dat de ecuația
x = f1 (t);
y = f2 (t),
atunci când se determină raza de curbură a traiectoriei se recomandă următoarele:

1. Diferentierea ecuația de mișcare, își găsesc expresia în proiecțiile vectorului de viteză axe de coordonate:
vx = f1 „(t);
vy = f2 „(t).

2. Substituind în (b „) VX expresie și vy. Găsiți v 2.

3. Diferențierea t pentru ecuația (b), obținută direct de la (b „), găsiți accelerația tangențială la. și apoi la 2.

4. Diferențierea a doua ecuație de mișcare, găsi expresia proiecțiilor pe axele de coordonate ale vectorului accelerație
ax = f1 '' (t) = vx „;
ay = f2 '' (t) = vy“.

5. Substituind în (d) ax expresie și ay. găsi un 2.

6. Membru supleant în (a) o valoare de 2, și la 2, și pentru a găsi o.

7. în valori înlocuind (a) v 2 și găsită o. primi raza R. curbură