algebra liniara

Având în vedere un spațiu liniar și. Regula prin care fiecare element este atribuit un element unic, numit un operator. acționând în spații liniare. Rezultatul acțiunilor operatorului pe elementul sau desemnat. În cazul în care elementele legate de relația, numită imaginea elementului; element de element de prototip.

Multitudinea de elemente ale unui spațiu liniar, pentru care o acțiune a operatorului, numit domeniul operatorului și eticheta.

Multitudinea de elemente ale unui spațiu liniar, care sunt imagini ale elementelor din domeniul operatorului, operatorul numit imaginea și eticheta. În cazul în care, atunci.

Operator în spațiu liniar se numește un operator liniar. în cazul în care pentru orice și pentru orice număr.

În cazul în spațiu și la fel, atunci spunem că operatorul acționează în spațiul. În cele ce urmează considerăm operatorii liniari într-un spațiu liniar.

operator liniar și matricea sa. Trecerea la o altă bază

Luați în considerare operatorul liniar într-un spațiu finit-dimensional, și lăsați în mod. Notam imaginile vectorilor de bază.

ale cărei coloane sunt coordonatele imaginilor ale vectorilor de bază, numită matricea unui operator liniar într-o anumită bază.

Este dovedit faptul că fiecare operator liniar care acționează în spațiul vectorial n-dimensional corespunde unei matrice pătratică unic de ordinul n; și înapoi fiecare matrice pătrată de ordinul n definește un singur operator liniar în acest spațiu. Atunci când acest raport

pe de o parte, coordonatele asociate cu coordonatele imagine ale imaginii inverse, pe de altă parte, descrie acțiunea matricei, predeterminate.

Atunci când o schimbare de bază de matrice a spațiului vectorial este, evident, sa schimbat. În spațiul a existat o trecere de la valoarea inițială până la valoarea inițială. Comunicarea dintre matrice și în baza acestei matrice în baza definită prin formula.

Aici, matricea de tranziție de la baza la baza si inversa ei.

EXEMPLUL 1 operator de matrice în noua bază.

Imaginea și kernel-ul liniar

Luați în considerare operatorul liniar într-un spațiu finit-dimensional. Demonstrăm că spațiul operator liniar liniar. Dimensiunea imaginii unui operator liniar se numește rangul operatorului. indicată.

Nucleul operatorului liniar este setul de elemente a căror imagine este elementul zero. consultați kernel :. Nucleul spațiului operator liniar liniar; dimensiunea operatorului liniar numit defektomoperatora de bază. desemnat :.

Pentru un operator liniar care acționează într-un spațiu liniar n-dimensional, următoarele afirmații sunt adevărate:

suma rangul și defect al operatorului este egală cu dimensiunea spațiului în care operatorul este valabil :;

Operatorul Locul este egal cu rangul matricei;

kernel-ul este setul de sistem omogen liniar face matricea, dimensiunea spațiului soluție a operatorului de sistem este defect și sistemul său fundamental de soluții formează baza de bază al operatorului;

coloane în operatorul Minor matrice bază formează o bază a imaginii operatorului.

Aceste afirmații ne permit să descrie structura imaginii și kernel-ul operatorului liniar dat de matricea, folosind limbajul de transformări matrice și teoria generală a sistemelor liniare.

Exemplul 2. Imaginea și nucleu liniar.

Valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar

Lăsați operatorul liniar într-un spațiu liniar.

Numărul se numește valoare proprie. și un vector nenul corespunzător eigenvector unui operator liniar, în cazul în care acestea sunt legate.

Lăsați matricea operatorului, în unele baze.

Vectori și valori proprii corespunzătoare sunt legate, în care matricea de identitate și elementul spațial zero. Aceasta înseamnă că o soluție este vectorul propriu nenul liniar sistem omogen care există dacă și numai dacă. Prin urmare, valorile proprii ale operatorului liniar poate fi calculat ca rădăcinile ecuației, iar vectorii proprii - ca soluțiile sistemelor omogene corespunzătoare.

Ecuația se numește ecuația caracteristică a operatorului, iar polinomul polinomul caracteristic al operatorului.

Pentru valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar următoarele afirmații sunt adevărate:

caracteristic operatorului polinomul care acționează în spațiul n-dimensional este un polinom liniar de gradul n-lea relativă;

operator liniar în spațiu liniar nu mai diferite valori proprii n-dimensionale;

vectorii proprii corespunzătoare diferitelor valori proprii sunt liniar independente;

în cazul în care operatorul liniar în spațiu vectorial n-dimensional, are valori proprii distincte, vectorii proprii formează baza spațiului; această bază se numește baza propriului operator de;

matrice în baza propriilor vectorii săi are formă diagonală cu autovalorile pe diagonală.

Exemplul 3. Valorile proprii și vectorul propriu al operatorului.