Tutorial pe Mathcad
8.3. sistemul de ecuații
Considerăm soluția unui sistem de N ecuații neliniare cu M necunoscute
Aici f1 (x1. Hmm). fn (x1 Hmm.) - unele funcții scalare a variabilelor scalare htsh2 /. / Um, și poate chiar și din orice variabile. Ecuațiile pot fi fie mai mare sau mai mic decât numărul de variabile. Rețineți că sistemul (1) poate fi scris în mod oficial ca
unde x - vector compus din x1 variabile, x2. um, o f (x) - vector caracteristica corespunzătoare.
Pentru sistemele de soluții există o unitate de calcul special, format din trei părți, care merg în succesiune:
- Având în vedere - un cuvânt cheie;
- Sistemul înregistrează operatorii logici în formă de egalități și, eventual, a inegalităților;
- Găsiți (x1 Hmm.) - funcția încorporată pentru soluții de sistem în variabilele xx. hmm.
Paste operatori logici urmează folosind bara de instrumente Boolean (operatori booleeni). Dacă preferați de intrare tastatură, amintiți-vă că semnul egal logic introduce rapidă de la tastatură
Listarea 8.6. este un exemplu de rezolvare a unui sistem de două ecuații.
Listarea 8.6. Sistemul de ecuații
Adesea este foarte util pentru a verifica acuratețea soluțiilor de ecuații pentru a calcula valorile elementelor constitutive găsite în rădăcinile procesorului computerului, așa cum se face la sfarsitul Listarea 8.6.
Rețineți că ecuația poate fi determinată în mod direct în cadrul unității de calculator. Astfel, nu se poate determina în avans funcția f (x, y) și g (x, y), așa cum se face în primele două rânduri de listare 8.6, și scrie imediat:
Această formă a ecuației este mai formă familiară și grafică, în special potrivite pentru documentare.
Interpretarea grafică a sistemului considerat este prezentată în Fig. 8.3. Fiecare din ecuațiile prezentate în grafic planul XY. Primul - o curbă solidă, al doilea - o linie punctată. Deoarece a doua ecuație este liniară, determină în planul XY al liniei. Cele două curbe ale punctelor de intersecție corespund executarea simultană a celor două ecuații, t. E. Sistemul dorit rădăcini reale. După cum este ușor de văzut, listare a găsit doar una dintre cele două decizii - în partea din dreapta jos a diagramei pentru a găsi și a doua soluție, se repetă calculul prin modificarea valorilor inițiale, astfel încât acestea au fost mai aproape de celălalt punct de intersecție a graficelor, cum ar fi x = -1, y = -1.
Fig. 8.3. Soluție grafică a unui sistem de două ecuații
Până în prezent, am considerat un exemplu de un sistem de două ecuații și același număr de necunoscute, care este cea mai comună. Dar numărul de ecuații și necunoscute pot să nu coincidă. Mai mult decât atât, unitatea de calcul pot adăuga termeni suplimentari sub formă de inegalități. De exemplu, introducerea de limitări de căutare pentru doar valorile negative ale x în lista discutată mai sus 8.6 duce la găsirea altor soluții, așa cum se arată în exemplul 8.7.
Listarea 8.7. Soluția sistemului de ecuații și inegalități
Vă rugăm să rețineți că, în ciuda aceeași valoare inițială ca în Listarea 8.6, avem 8.7 din listingul altă rădăcină. Acest lucru a avut loc datorită introducerii de inegalitate suplimentare definite în blocul dat în penultima linie listare 8.7.
Dacă încercarea de a rezolva sistemele incompatibile, de Mathcad afișează un mesaj de eroare care să ateste că nu este găsită o soluție, și oferă pentru a încerca să schimbe valoarea inițială sau valoarea erorii.
Unitatea de calcul utilizează CTOL constant ca ecuațiile performante de eroare introdusă după cuvânt cheie. De exemplu, dacă CTOL = 0,001, ecuația x = 10 ar fi îndeplinite și când x = 10.001, și când x = 9.999. O altă constantă TOL specifică starea de terminare a iterații algoritmi numerici (vezi. Sec. 8.4). Valoarea Sto poate fi setat de către utilizator precum și TOL, de exemplu, CTOL: = 0,01. În mod implicit, se presupune că CTOL = TOL = 0,001, dar opțional le poate trece peste.
O atenție deosebită ar trebui să fie luate cu un număr mare de necunoscute în soluția de sisteme decât numărul de ecuații. De exemplu, aveți posibilitatea să eliminați una dintre cele două ecuații ale considerat lista noastră 8.6, încercând să rezolve o singură ecuație g (x, y) din cele două necunoscute x și y. Într-o astfel de formulare a problemei are un număr infinit de rădăcini pentru toate x, și respectiv, y = -x / 2 condiție care definește o singură ecuație este îndeplinită. Cu toate acestea, chiar dacă un număr infinit de rădăcini, metoda numerică va face plăți numai atâta timp cât expresia logică în unitatea de calcul nu sunt îndeplinite (în marja de eroare). După această iterație va fi oprit și a emis o decizie. Rezultatul va fi găsit doar o pereche de valori (x, y) este detectat.
Pentru a afla cum să găsească toate soluțiile problemei, descrise în Sec. 8.7.
Găsiți unitatea de calcul să funcționeze, puteți găsi rădăcina unei ecuații cu o singură necunoscută. Găsiți acțiunea în acest caz, este destul de similar cu deja considerat în această secțiune exemple. Problema găsirii rădăcinii este considerată ca soluție a unui sistem format din una ecuație. Singura diferență este un scalar, mai degrabă decât o funcție de a găsi numărul de tip vector returnat. Un exemplu de soluția ecuației în secțiunea anterioară este prezentată în Listing 8.8.
Listarea 8.8. Căutare rădăcină a ecuației cu o singură necunoscută, folosind funcția Find
Care este diferența dintre soluția redusă de la listare 8.1 cu funcție de root? Acesta constă în faptul că una și aceeași problemă a fost rezolvată prin diverse metode numerice. În acest caz, metoda de alegere nu afectează rezultatul final, dar există situații în care utilizarea unei anumite metode este crucială.