operatori liniari

1. Conceptul de un operator liniar

Fie R și S liniar spațiu, care au o dimensiune de n și m, respectiv. Operatorul care acționează de la R la S este o mapare a formei, atribuind fiecărui element al spațiului R x un element y S. Pentru acest spațiu de mapare va folosi notația y = A (x) sau y = x A.

DEFINIȚIE 1. Un operator care acționează de la R S se numește liniară dacă R λ și oricare dintre un câmp număr K pentru toate elementele x1 și x2 a spațiului satisface relațiile

Dacă spațiul S este R. spațiu atunci operatorul liniar care operează de la R la R sunt numite transformare liniară a R. spațiu

Lăsați bidimensională spațiu vectorial R n și dimensionale S. și m- lăsați aceste spații sunt definite și, respectiv baze. Să presupunem că o mapare

unde A - m × n matrice cu coeficienți în K. Apoi, fiecare element al elementului R corespunde y = Ax de S. Displayuri (1) definește un operator A. Vom arăta că operatorul are proprietatea de liniaritate. Într-adevăr, având în vedere proprietățile multiplicarea matricei. putem scrie:

,

.

Arătăm acum Reciproca, și anume, că pentru orice operator liniar de cartografiere a spațiului A. R și S în baze și R și S arbitrare, respectiv, există o matrice A cu elementele câmpului numeric K. determinat că această matrice de cartografiere liniară (1) exprimă vectorul y trasat coordonatele prin coordonate de pornire vector x.

Fie x - element arbitrar al R. Atunci

x este o expansiune în ceea ce privește baza.