Lecția - ecuația tangentei la graficul funcției

O scurtă descriere a documentului:

În continuare considerăm un exemplu de desen o ecuație tangentă următoarea schemă. Având în vedere funcția y = x 2. x = -2. Avand o = 2, găsim valoarea funcției în punctul f (a) = f (-2) = (- 2) 2 = 4. Noi determinăm derivata funcției f (x) = 2x. În acest moment, derivatul este egal cu f (a) = f (-2) = 2 + (-2) = - 4. Pentru prepararea tuturor coeficienților ecuației se găsesc și = -2, f (a) = 4, f (a) = - 4, deci ecuația tangentei y = 4 + (- 4) (x + 2). Simplificarea ecuație, obținem y = -4-4h.

Exemplul următor servește echivala tangente la originea graficului funcției y = TGX. In acest moment, a = 0, f (0) = 0, f (x) = 1 / cos 2 x, f (0) = 1. Astfel, ecuația tangentei este ca y = x.

Ca o generalizare a procesului de compilare a ecuației graficului de tangenta la un punct este realizat sub forma unui algoritm, care constă din 4 etape:

• Noi introducem notația și punctele abscisa tangență;
• f calculat (a);
• Determinat prin f (x) și f calculat (a). În formula ecuației tangent y = f (a) + f (a) (x-a) și valorile obținute sunt substituite, f (a), f (a).

Exemplul 1 se adresează prepararea ecuațiile tangentei la graficul funcției y = 1 / x la x = 1. Pentru a rezolva problema folosind algoritmul. Pentru o anumită funcție, la punctul a = 1, funcția f (a) = - 1. Derivata funcției f (x) = 1 / x 2. La punctul 1 a = f derivat (a) = f (1) = 1. Folosind datele obținute, o tangentă ecuație y = -1 + (1-x) sau y = x-2.

În exemplul 2, este necesar să se găsească ecuația tangentei la graficul funcției y = x 3 + 3x 2 -2x-2. Principala condiție - tangenta și linia y = -2x + 1. În primul rând, vom găsi panta liniei tangente egal cu coeficientul unghiular y = -2x + 1. Deoarece f (a) = - 2 pentru această linie, atunci k = -2 și pentru tangenta necesară. Gasim derivata funcției (x 3 + 3x 2 -2x-2) = 3x 2 + 6x-2. Știind că f (a) = - 2 găsim coordonatele punctului 3a-6a + 2 2 = -2. Rezolvarea ecuației, obținem a1 = 0, a2 = -2. Folosind coordonatele obținute, ecuația tangentei poate fi găsit folosind algoritmul cunoscut. Gasim valoarea funcției la punctele f (a1) = - 2, f (a2) = - 18. Valoarea derivatului de la punctul f (a1) = f (a2) = - 2. Rezultatele Substituind în ecuația valorilor tangente, obținem pentru primul punct a1 = 0, y = -2x-2, iar pentru al doilea punct a2 = -2 tangent ecuația y = -2x-22.

Exemplul 3 descrie prepararea ecuației tangentei se efectuează la punctul (0, 3) graficul x y =. Decizia este luată de un algoritm cunoscut. Punctul de contact are coordonatele x = a, unde a> 0. Valoarea funcției la punctul f (a) = √x. Derivata funcției f (x) = 1 / 2√h, astfel încât în ​​acest punct de f (a) = 1 / 2√a. Substituind toate valorile obținute în ecuația tangentei obține √a + y = (x-a) / 2√a. Transformarea ecuație, obținem y = x / 2√a √a + / 2. Știind că tangenta se extinde prin punctul (0, 3), constatăm că valoarea o. Si afla √a = 3/2. De aici √a = 6, a = 36. Noi găsim ecuația tangenta y = x / 12 + 3. Cifra este un grafic al funcției și construcția tangenta necesară.

Elevii amintesc egalitatea aproximativă Dy = ≈f (x) δxi f (x + Ax) -f (x) ≈f (x) Ax. Presupunând că x = a, x + x = Ax, = x-Ax a, obținem f (x) - f (a) ≈f (a) (x-a), deci f (x) ≈f (a) + f (a) (x-a).

În exemplul 4, este necesar să se găsească o valoare aproximativă a expresiei 2,003 6. Deoarece este necesar să se găsească valoarea funcției f (x) = x 6 la punctul x = 2,003, putem folosi binecunoscuta formulă, luând f (x) = x = 6 și 2, f ( a) = f (2) = 64, f (x) = 6x 5. Derivat de la punctul (2) f = 192. Prin urmare, 2.003 6 ≈65-192 · 0,003. Prin calcularea expresiei, vom obține 2.003 6 ≈64,576.

Știm că, dacă punctul M (a, f (a)) (um coordonează o și Aeff de a) aparține graficului funcției y = f (x), iar în cazul în care, în acest moment la graficul funcției se poate trage o tangentă nu este perpendiculară pe axa abscisă, panta tangentei este egală cu f „(a) (bar eff de la a).

Să presupunem că funcția y = f (x) și un punct M (a, f (a)), un bine cunoscut faptul că există f '(a). Noi construim ecuația de tangenta la funcția graficului dat într-un anumit punct. Această ecuație, așa cum Equation orice linie care nu este paralela cu axa ordonatei are forma y = kx + m (y egal cu X plus ka um), deci provocarea este de a găsi valorile coeficienților k și m. (Ka și um)

Angulară Coeficientul k = f „(a). Pentru a calcula valorile m folosim faptul că linia dorită trece prin punctul M (a, f (a)). Aceasta înseamnă că, dacă înlocuim coordonatele punctului M în ecuația liniei, obținem ecuația corectă: f (a) = ka + m, unde descoperim că m = f (a) - ka.

Rămâne să înlocuiască valorile obținute ale coeficienților de k și ecuația MW a liniei:

y = kx + (f (a) -ka);

Am obținut o ecuație a tangentei la graficul y = f (x) la x = a.

Dacă, să zicem, y = 2 și x = 2 (adică, a = -2), atunci f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f '(x) = 2, apoi, f '(a) = f'(- 2) = 2 + (-2) = -4. (Ef din cele patru, precum și, bar ef al X X este egal cu doi, apoi bar eff precum și de la minus patru)

Substituind rezultate în ecuația valorile a = -2, f (a) = 4, f „(a) = -4, obținem: y = 4 + (- 4) (x + 2), adică y = -4H-4.

(Y este egal cu X minus patru sau minus patru)

Construirea ecuatia tangentei la graficul funcției y = TGX (y este egal cu tangenta X) la origine. Avem: a = 0, f (0) = tg0 = 0;

f „(x) =. Aceasta înseamnă, f „(0) = l. Rezultatele Substituind în ecuația valorile a = 0, f (a) = 0, f '(a) = 1, obținem: y = x.

Noi rezuma etapele de a găsi ecuația tangenta la graficul functiei la punctul x de un algoritm.

ALGORITMUL DE tangent ECUAȚIE la graficul funcției y = f (x):

1) reprezintă abscisa punctului de tangență cu litera a.

2) Se calculează f (a).

3) Găsiți f '(x) și se calculează f' (a).

Exemplul 1. Crearea ecuație a tangentei la graficul funcției y = - a

Decizie. Noi folosim algoritmul, dat fiind faptul că în acest exemplu,

2) f (a) = f (1) = - = -1

3) f '(x) =; f '(a) = f' (1) = 1.

4) Înlocuind rezultate trei numere: a = 1, f (a) = -1, f „(a) = 1 în formula. Obține -1+ y = (x-1), y = x-2.

Raspuns: y = x-2.

Exemplul 2 este dat functia y = x 3 + 3x 2 -2x-2. Ecuația înregistrare a tangentei la graficul funcției y = f (x) paralelă cu linia dreaptă y = -2x + 1.

Folosind algoritmul ecuației desen tangente ia în considerare faptul că, în acest exemplu, f (x) = x 3 + 3x 2 -2x-2. dar nu este listat abscisa punctului de tangență.

Începem să vorbim așa. Favorizate trebuie să fie paralelă cu linia tangentă y = -2x + 1. Un linii paralele au rate unghiulare egale. Prin urmare, panta tangentei este egală cu panta liniei date: kkas. = -2. Hokkas. = F „(a). Astfel, valoarea și putem găsi ecuația f „(a) = -2.

Din ecuația f „(a) = -2, adică 3a, 6a-2 + 2 = -2 găsi a1 = 0, a2 = -2. Deci, există două tangente care îndeplinesc sarcini: unul la punctul cu abscisa 0 și cealaltă la punctul cu abscisa -2.

Acum este posibil să funcționeze conform algoritmului.

2) f (a1) = 3 + 0 · 0 2 3 -2 ∙ 0-2 = -2; f (a2) = (- 2) 3 + 3 + (-2) · 2 -2 (-2) -2 = 6;

4) Substituind valorile a1 = 0, f (a1) = -2, f „(a1) = -2 în formulă, obținem:

Substituind valorile a2 = -2, f (a2) = 6, f „(a2) = -2 în formulă, obținem:

Raspuns: y = -2x-2, y = -2x + 2.

Exemplul 3. Din punctul (0, 3) la o tangentă la graficul functiei y =. Decizie. Noi folosim algoritmul de desen ecuații tangentă, dat fiind faptul că în acest exemplu, f (x) =. Rețineți că aici, la fel ca în exemplul 2, abscisa nu este specificat în mod explicit punctul de atingere. Cu toate acestea, noi acționăm pe algoritmul.

1) Fie x = a - abscisa punctului de tangență; este clar că un> 0.

3) f '(x) = ()' =; f '(a) =.

4) Înlocuind valorile a, f (a) =. f „(a) = o formulă

y = f (a) + f „(a) (x-a). obținem:

Prin tangent condiție trece prin punctul (0, 3). Înlocuind valorile în ecuația x = 0, y = 3, obținem: = 3. și mai departe = 6, a = 36.

După cum puteți vedea, în acest exemplu, doar a patra etapă a algoritmului am reușit să găsim abscisa punctului de tangență. Substituind valoarea unui = 36 în ecuație, obținem: y = + 3

Fig. 1 prezintă o ilustrare geometrică a exemplului de mai sus: construit de graficul = y, chinta y = 3.

Știm că pentru o funcție y = f (x), având un derivat de la un punct x, ecuația următoare aproximative: δyf“(x) Ax (delta y aproximativ egal bar ef al X înmulțit cu delta X)

sau mai mult, f (x + Ax) -f (x) f '(x) Ax (Aeff X plus delta X din X minus eff eff este aproximativ egală cu bara X din delta X).

Pentru comoditatea de discuții suplimentare vom schimba notația:

vom scrie un loc de x,

în loc de x write x + δxbudem

vom scrie x în loc bH.

Apoi, scris mai sus ecuația aproximativă devine:

f (x) f (a) + f '(a) (x-a). (X eff eff eff aproximativ egală cu un accident vascular cerebral, plus o, înmulțită cu diferența dintre Xs și a).

Exemplul 4. Găsiți valoarea aproximativă a unei expresii numerice 2.003 6.

Decizie. Este vorba de a găsi valorile funcției y = x 6 x = 2,003. Utilizați formula f (x) f (a) + f '(a) (xa), ținând seama de faptul că, în acest exemplu, f (x) = x 6. a = 2, f (a) = f (2) = 2 luna iunie = 64; = 2.003 x, f '(x) = 6x 5 și, prin urmare, f' (a) = f „(2) = 2 6 x 5 = 192.

Ca rezultat, obținem:

6 + 64 2.003 192 · 0,003, adică 2.003 6 = 64.576.

Dacă vom folosi un calculator, obținem:

2.003 6 = 64.5781643.

După cum puteți vedea, precizia de aproximare este destul de acceptabil.

Raspuns: 2,003 6 = 64.576.