Isoscel și triunghi echilateral

Isoscel și triunghiuri echilaterale.

7. Definiția triunghiului isoscel este orice, cele două părți sunt egale.
Două fețe egale se numește lateral, a treia - bază.






8. Determinarea, atunci un astfel de triunghi echilateral este numit în cazul în care toate cele trei laturi sunt egale triunghi.
Este o formă particulară a unui triunghi isoscel.
Teorema 18. Înălțimea triunghiului isoscel, coborâtă la bază, în același timp o bisectoare a unghiului dintre laturile egale, iar axa mediană de simetrie a bazei.
Dovada. Omite înălțimea bazei unui triunghi isoscel. Acesta se va împărți în două (pe un picior și un ipotenuza) triunghiuri egale in unghi drept. Unghiuri A și C sunt bisects, de asemenea, înălțimea bazei și o axă de simetrie vor fi luate în considerare pe parcursul figurilor.
De asemenea, această teoremă poate fi declarat după cum urmează:
Teorema 18.1. Mediana a unui triunghi isoscel, coborât la bază, în același timp o bisectoare a unghiului dintre laturile egale, înălțimea și axa de simetrie a bazei.
Teorema 18.2. Bisectoarea unui triunghi isoscel, coborât la bază, este în același timp mare, mediana bazei și axa de simetrie.
Teorema 18.3. Axa de simetrie a triunghiului isoscel este, de asemenea, bisectoarea unghiului dintre laturile egale, și înălțimea medie.
Dovada acestor consecințe, de asemenea, din egalitatea de triunghiuri, care este împărțit într-un triunghi isoscel.

Teorema 19. Baza unghiurilor unui triunghi isoscel sunt egale.
Dovada. Omite înălțimea bazei unui triunghi isoscel. Acesta se va împărți în două egale (în catete și ipotenuza) triunghiul dreptunghiular, deci unghiurile corespunzătoare sunt egale, adică, A ∠ = ∠ C
Semne ale unui triunghi isoscel sunt din Teorema 1 si corollaries sale din Teorema 2.
Teorema 20. Dacă două dintre cele patru linii (înălțime, mediană, bisectoarea, axa de simetrie) coincid, atunci triunghiul este isoscel (și astfel și coincid toate cele patru linii).
Teorema 21. În cazul în care oricare două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, atunci este isoscel.

Dovada: Ca și în demonstrația teoremei directă, dar utilizând al doilea semn al egalității de triunghiuri. Centrul de greutate, precum și centrele cercului înscris și punctul de intersecție al altitudinile unui triunghi isoscel - toate se află pe axa de simetrie, și anume, la altitudine.






Un triunghi echilateral este isoscel, pentru fiecare pereche de laturile sale. Având în vedere egalitatea tuturor părților sale egale și toate cele trei colțuri ale triunghiului. Dat fiind faptul că suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu două unghiuri drepte, vedem că fiecare din colțurile unui triunghi echilateral este egal cu 60 °. Pe de altă parte, pentru a asigura egalitatea de toate laturile unui triunghi, este suficient să se verifice că două dintre cele trei unghiuri sale sunt egale cu 60 °.
Teorema 22. Într-un triunghi echilateral toate același punct remarcabil: centrul de greutate al centrele cercurilor inscriptionate și circumscrise, punctul de intersecție înălțimi (numită orthocenter triunghiului).
Teorema 23. În cazul în care două dintre cele patru puncte coincid, atunci triunghiul este echilateral și, ca rezultat, toate cele patru puncte de meci menționate.
De fapt, un triunghi va apărea pe cele de mai sus, un triunghi isoscel cu privire la orice pereche de părți, și anume echilateral. Un triunghi echilateral este numit, de asemenea, un triunghi echilateral. Aria unui triunghi isoscel este egală cu jumătate din produsul pătrat laturii și sinusul unghiului dintre laturile
Luați în considerare această formulă pentru un triunghi echilateral, în timp ce unghiul alfa este egal cu 60 de grade. Apoi, formula se va schimba la următoarele:

Teorema d1. Într-un triunghi echilateral, mediana a petrecut partile laterale sunt egale.

Dovada: Fie ABC - triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL - mediana acestuia. Apoi, triunghiuri AKB și ALB sunt pe a doua baza egalității de triunghiuri. Ei au partea AB în ansamblu, AL piesei și BK sunt ambele părți și jumătate ale unui triunghi isoscel, LAB și unghiurile KBA sunt egale cu unghiurile de la baza unui triunghi isoscel. Deoarece triunghiuri sunt egale, laturile lor AK și LB sunt egale. Dar AK și LB - mediană a unui triunghi isoscel, realizat la partea sa.
Teorema d2. Într-un triunghi isoscel bisectoarea, efectuat la partile laterale sunt egale.

Dovada: Fie ABC - triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL - bisector sale. Triunghiuri AKB și ALB sunt pe a doua baza egalității de triunghiuri. Ele AB unghiuri laterale comune LAB și KBA sunt egale cu unghiurile de la baza unui triunghi isoscel, unghiurile KAB și LBA sunt ambele unghiuri jumătate de la baza unui triunghi isoscel. Deoarece triunghiuri sunt egale, laturile lor AK și LB - bisectoarea ABC - egal. Acest lucru dovedește teorema.
Teorema d3. La înălțimea triunghiului isoscel, a coborât la laturile sunt egale.

Dovada: Fie ABC - triunghi isoscel (AC = BC), AK și BL - înălțimea sa. Apoi colțurile și KAB ABL egale, întrucât AKB unghiurile și liniile ALB și unghiurile LAB și ABK egală cu unghiurile de la baza unui triunghi isoscel. De aceea, triunghiuri AKB și ALB sunt pe a doua baza egalității de triunghiuri au o latură comună AB, colțurile KAB și LBA sunt egale în cele de mai sus, iar LAB unghiurile și KBA sunt unghiurile de la baza unui triunghi isoscel. În cazul în care triunghiuri sunt egale, laturile lor AK și BL este, de asemenea, egal. QED.