Împărțirea numerelor naturale cu restul - o privire de ansamblu

În acest articol vom arunca o privire mai atentă la restul împărțirii. Să începem cu o idee generală a acestei acțiuni, atunci afla sensul diviziunii numerelor naturale cu restul. și de a introduce termenii necesare. Apoi schiță a sarcinilor care urmează să fie rezolvate prin împărțirea numerelor naturale la restul. În concluzie, permiteți-ne toate relațiile posibile între dividendul, împărțitor, și coeficientul parțial restul din divizia.

Navigare în pagină.

Divizia cu un rest - o prezentare generală a acestei acțiuni

În prezentarea generală a diviziunii am spus că diviziunea este asociată cu separarea setului original pe numărul de seturi, și a menționat că cel mai mare interes este împărțirea în părți egale (în același set).

Cu toate acestea, pentru a efectua împărțirea în părți egale, nu este întotdeauna posibil. De exemplu, secțiunea 7 din flori în buchete la fiecare buchet de flori a fost de 3, nu va funcționa. Dar, din 7 flori pot fi de 2 de buchet (aveți nevoie de 3 x 2 = 6 flori) și a șaptea floare este „de prisos“ (pentru că el nu face buchetul necesar). Cu alte cuvinte, o floare rămâne. Totusi, este posibil să spunem că după împărțirea numărului inițial de flori în acest mod a produs un reziduu. Astfel, subdivizate 7 flori într-un buchet necesar 2 la 3, în fiecare floare, floare a fost 1. Exemplul de mai sus demonstrează împărțirea cu rest.

Acum avem o idee despre diviziunea cu restul, și putem da o definiție a acestei acțiuni.

Divizia cu restul - o reprezentare a originalului ca o pluralitate de combinare a unui anumit număr de seturi necesare și un alt set de elemente care nu pot face pluralitatea necesară.

Sense împărțirea numerelor naturale cu restul

Pornind de la o prezentare generală a compartimentării, cu rest, este ușor să dau seama sensul diviziunii cu restul numerelor naturale.

Acum, să ne spunem că prin împărțirea numărului natural pentru un număr natural b pentru restul obținut două numere denote lor c și d. Acum, să ne uităm la semnificația care transporta un număr de. b. c și d. din care va fi clar și sensul de divizare cu rest.

Știm că numerele naturale legate de numărul. Fie numărul natural al unei. pe care o împărtășim, determină numărul de obiecte din setul original, și un număr întreg pozitiv d determină numărul de elemente care rămân în setul original după împărțirea cu rest. Rămâne să se determine numărul de b și c. Există două posibilități.

• Dacă întreg b corespunde numărului de obiecte din fiecare dintre seturile obținute după divizare, numărul de c indică numărul de seturi recepționate.
• Dacă întreg b specifică numărul de seturi de a diviza setul original, numărul de c definește numărul de subiecți din fiecare dintre aceste seturi.

Aici este un exemplu, explicând sensul diviziunii numerelor naturale cu restul. Când împărțirea numărului naturale 13 în numărul natural al 4 primit 3 și 1. Acest exemplu două situații egale pot fi comparate.

• 13 lucruri pe care trebuie să se răspândească în grupuri de câte 4 subiecți fiecare. Acest lucru dă o mână de 3, iar în setul original va fi același lucru.
• 13 lucruri pe care trebuie să fie descompuse în 4 grămezi. Astfel, în fiecare grămadă vor fi supuse 3, iar în setul original 1 rămân subiect.

Trebuie remarcat faptul că numărul natural poate fi împărțit cu un rest de orice întreg pozitiv b. Astfel, în funcție de valorile numerelor a și b următoarele trei situații pot apărea.

1. Numerele a și b sunt de așa natură încât o este împărțită b, fără reziduuri. Cu alte cuvinte, toate elementele din setul inițial pot fi împărțite în seturi necesare. După această acțiune în setul original nu va fi nici un obiect, care este, numărul d este egal cu zero. (Astfel, diviziunea fără rest este un caz special, cu restul de divizare).
2. Numărul o poate fi mai mic decât numărul b. În acest caz, obiectele din setul original nu va crea nici o pluralitate dorită, adică numărul c este egal cu zero, în timp ce restul este egal cu numărul de obiecte din setul original, adică, d = a.
3. Numărul poate fi împărțit într-un număr b cu rest. În acest caz, toate dintr-o. b. c și d sunt numere întregi pozitive.

Astfel, rezultatul împărțirii numerelor naturale a și b cu restul sunt două numere c și d. în care c și d, fie naturale, fie unul dintre ele este zero.

Dividendul, divizorului, coeficientul parțial, restul de divizare

Este timpul pentru a defini termenii prin care descrie diviziunea cu restul.

Numărul natural, care este împărțit se numește dividendul. număr întreg pozitiv prin care ponderea este numit împărțitor. Ca rezultat al diviziunii cu rest obținut două numere, dintre care unul este numit coeficientul parțial. iar celălalt - restul. De exemplu, dacă diviziunea cu restul dividendului de către divizorul 19 5 obținut prin câtul parțială și un rest 3 4.

Pentru a indica restul împărțirii este folosit ca un tip de semn „divizat“ „# 58“ ca și când divizat fără un rest, care se înregistrează între dividendul și împărțitorul. Puteți găsi, de asemenea, un semn «÷», ceea ce denotă aceeași acțiune. De exemplu, să înregistreze 103 # 58, 31 (astfel de înregistrări se numesc expresii numerice) înseamnă împărțirea numărului naturale 103 pe întreg 31.

Dacă găsit câtul parțială c și d reziduul numărul diviziunii A, prin numarul b. se aplică următoarea formă prescurtare a # 58; b = c (ost d.). Astfel, restul divizării înregistrării îndeplinește următoarea schemă:
dividend # 58; divizor = câtul parțială (oprire. reziduu).

Din sens la restul de diviziune a apreciat faptul că reziduul este întotdeauna mai mică decât împărțitorul. Dacă reziduul a fost mai mare sau egal cu divizor separator, acest lucru ar însemna că elementele din rămase în setul original după diviziune poate face cel puțin încă un set dorit.

Principalele probleme care trebuie rezolvate cu ajutorul diviziunii cu rest

Știm că rezultatul împărțirii numerelor naturale cu restul sunt două numere - coeficientul parțial și restul. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare două tipuri de probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul diviziunii cu rest. Răspunsul la prima sarcină de tip este un coeficient parțial, iar al doilea - restul împărțirii. Să le examinăm în detaliu.

Este necesară Sarcinile primul tip pentru a găsi un număr de seturi obținute din numărul existent de obiecte din setul original, sau numărul de obiecte din seturile obținute după împărțirea. Iată câteva exemple.

67 jucării de Crăciun a fost făcut noul an. Pe fiecare copac, sa decis să stea până la 15 jucării. câtul parțială de la împărțirea 67 până la 15 pozyvaet câți copaci pot imbraca.

Există 162 de piese si 40 de cutii în care aceste detalii sunt stabilite în așa fel încât același număr de piese este în fiecare cutie. câtul parțială prin împărțirea 162 cu 40 determină numărul de bucăți în fiecare cutie.

Trebuie spus că, în loc de valoarea oricăruia dintre elementele menționate în sarcina poate merge în orice condiții (unități de timp, greutatea, lungimea, suprafața, etc.). De exemplu, vom da condițiile unor astfel de probleme.

Fabrica Cvas umplut într-un flacon de doi litri. Cvas 5 111 litri au fost produse. Dacă împărțim cu 2. 5 111 atunci câtul parțiale arată cât kvass fabricat multe sticle.

Pentru lucrătorii să instaleze un set de echipament necesar 3 ore, iar ziua lui de lucru dureaza 8 ore. câtul parțială prin împărțirea numărului naturale 8 pe numărul natural 3 determină numărul de seturi de echipamente instalate acest lucru pentru ziua de lucru.

În problemele de al doilea tip. rezolvate prin divizare, cu rest, găsi o serie de obiecte care rămân în setul original după diviziune. Desigur, în loc de numărul de elemente pot fi, de asemenea valori ale oricăror variabile. Iată câteva exemple.

In total sunt 193 bomboane, care sunt stivuite în cutii și fiecare cutie este plasat un număr fix de dulciuri. După cutii pliante se obține 20 cu bomboane. Restul diviziunii 193-20 arăta cât de mult bomboane vor rămâne stivuite în cutii.

La fabricarea unei plăci de beton necesită 750 kg de ciment. A fost cumpărat 12100 kg de ciment. Restul de diviziunea 12 100 750 indică cât de mult de ciment nu va consumat în producerea acestor plăci.

Legăturile dintre dividend, divizorul, câtul și restul incomplet

Pentru a stabili legături între dividend, împărțitorul, câtul și aspectul incomplet restul la exemplul următor.

Să presupunem că am impartit subiectii b grămezi, cu fiecare teanc avansat subiecte c și în setul original rămâne obiecte d, care este, în virtutea sensul împărțirii numerelor naturale cu restul au un # 58; (. Ost d) b = c. Acum ia în considerare posibile situații.

Găsirea dividendului, împărțitorul dacă este cunoscut, coeficientul parțial și reziduul

În cazul în care nou format combinei b c grămezi de elemente și să le adăugați subiectele d rămase, este clar că vom primi setul original constând din subiecți. acțiunile descrise pentru a sesiza forța înmulțirea numerelor naturale și sensul adăugării numerelor naturale corespunde următoarei ecuații c · b + d = a. Și dacă vă amintiți Comutativitate de adăugarea de numere naturale și Comutativitate de multiplicare a numerelor naturale. ecuația rezultată poate fi rescrisă ca a = b · c + d. Adică, dividendul este egală cu suma a doi termeni, dintre care prima este produsul divizorului și coeficientul parțial, iar al doilea - restul.

Această ecuație de forma a = b · c + d permite calcularea dividendului necunoscut, dacă împărțitorul este cunoscută, câtul parțială și restul.

Care este dividendul, în cazul în care împărțitorul este egal cu 7. 11. Coeficientul parțial, iar restul este 2.

dividendului este de 79.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că verificarea rezultatelor împărțirii numerelor naturale la restul verificării valabilității se realizează ca rezultat egalitatea a = b · c + d.

Găsirea echilibrului, dacă știm dividendul, împărțitor și coeficientul parțial

In rest ei sens d - este numărul de elemente care vor rămâne în set după excluderea elementelor sale a b elemente ori c. În consecință, prin înmulțirea întregi sens și sens scăzând egalitatea întregi d = a-b · c. Astfel, rest d de la divizarea unui număr natural la un întreg b egal cu o diferență între dividendul și divizorul b funcționează pe parțială câtul c.

Relația rezultată d = a-b · c permite găsirea reziduu atunci când se cunoaște dividendul, divizorului și coeficientul parțial. Luați în considerare exemplul deciziei.

Când împărțirea numărului naturale la 67 la 15 au fost obținute prin coeficientul parțial care este egal cu 4. echilibru?

Aici o = 67. b = 15. c = 4. Balanța d găsim, dacă vom calcula valoarea expresiei a-b · c = 67-15 · 4. Deoarece 15 = 60 · 4. apoi · 67-15 4 = 67-60 = 7. Astfel, reziduul este șapte.