ecuațiilor de gradul doi
Provocări pentru ecuația de gradul doi și a studiat în programa școlară și în universități. Sub ei să înțeleagă ecuațiile de forma a * x ^ 2 + b * x + c = 0, unde x - variabila, a, b, c - constante; o<>0. Problema este de a găsi rădăcinile unei ecuații.
Sensul geometric al ecuației pătratice
Graficul funcției care este reprezentată de o ecuație pătratică este o parabolă. Soluții (rădăcini) ale ecuației pătratice - acesta este punctul de intersecție al parabolei cu axa orizontală (x). Din aceasta rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabolică are puncte de intersecție cu axa abscisă. Acest lucru înseamnă că este în ramurile plane de sus în jos în sus sau de jos cu ramuri. In astfel de cazuri, ecuația de gradul doi nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).
2) parabole are un punct de intersecție cu axa x. Acest punct se numește vârful parabolei, iar ecuația de gradul doi în ea dobândește valoarea minimă sau valoarea maximă. În acest caz, ecuația de gradul doi are rădăcină reală (sau două din aceeași rădăcină).
3) Ultimul caz, în practică, mai mult decât interesant - există două puncte de intersecție a parabolei cu abscisa. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.
Pe baza analizei coeficienții puterilor ale variabilelor, se pot face concluzii interesante cu privire la plasarea parabolei.
1) Dacă raportul este mai mare decât zero și ramurile parabolei îndreptate în sus dacă este negativ - ramurile parabolei în jos.
2) În cazul în care coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în stânga semiplanul, în cazul în care o valoare negativă - atunci dreapta.
Derivarea cu formula pentru rezolvarea ecuației pătratice
Transferăm constant la ecuația de gradul doi
pentru semnul egal, obținem expresia
Înmulțind ambele părți prin 4a
Pentru a obține un pătrat plin pe stânga pentru a adăuga pe ambele părți ale b ^ 2 și să efectueze conversia
Formula și discriminantul rădăcină ecuație pătratică
Discriminantă numita valoare radicand Dacă este pozitiv, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate conform formulei cu zero, discriminant a ecuației pătratice are o singură soluție (două rădăcină coincidente), care este ușor de obținut din formula de mai sus, atunci când D = 0 Fundamental reale ecuație discriminant negative au . isuyut Totuși soluțiile ecuației pătratice în planul complex, iar valoarea lor este calculată cu formula
Teorema lui Vieta
Luați în considerare cele două rădăcini ale ecuației pătratice și construi o ecuație pătratică bazată pe ele. Cu înregistrarea urmează cu ușurință teorema lui Vieta: dacă avem o ecuație pătratică a formei suma rădăcinilor este egală cu coeficientul p. luat cu semn opus, iar produsul din rădăcinile ecuației este un sumand q liber. Formula de mai sus, înregistrarea va fi sub forma Dacă ecuația clasică constantă și diferită de zero, este necesar să se împartă toată ecuația, și apoi se aplică teorema lui Vieta.
ecuația pătratică program factoring
Să însărcinat să se extindă ecuația de gradul doi este de factoring. Pentru punerea sa în aplicare, mai întâi vom rezolva ecuația (găsi rădăcinile). Mai mult, rădăcinile a găsit înlocuitor în formula unei descompunere ecuație pătratică Această problemă va fi rezolvată.
Provocări pentru ecuația de gradul doi
Problema 1. Găsiți rădăcinile ecuației pătratice
Soluție: Scriem coeficienții și formula discriminantă substitut
Rădăcina acestei valori este egală cu 14, este ușor de găsit cu un calculator, sau să vă amintiți utilizarea frecventă, dar pentru comoditate, la sfârșitul acestui articol, eu voi da o listă cu pătrate de numere care pot apărea de multe ori cu astfel de probleme.
Valoarea obținută este substituită în formula rădăcini
și a obține
Problema 2. Să se rezolve ecuația
Soluție: Avem o ecuație pătratică completă, vom scrie cote și pentru a găsi discriminante
formule cunoscute pe care ne găsim rădăcinile unei ecuații pătratice
Problema 3. Să se rezolve ecuația
Soluție: Avem o ecuație pătratică completă. definim discriminante
Avem un caz când rădăcinile sunt aceleași. Noi găsim valorile rădăcinilor prin formula
Sarcina 4. Rezolva ecuația
Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici de x este recomandabil să se aplice teorema lui Vieta. În starea ei, vom obține două ecuații
În a doua condiție, se constată că produsul trebuie să fie egală cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcinile negative. Avem următoarele posibil un cuplu de decizii. Luând în considerare prima condiție, o a doua pereche de decizii resping.
Rădăcinile ecuației sunt egale
Problema 5. Găsiți lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul său este de 18 cm, iar aria de 77 cm2.
Soluție: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egală cu suma laturilor adiacente. Fie x - latura mai mare, apoi 18 x partea inferioară a acesteia. Suprafața unui dreptunghi este produsul acestor lungimi:
x (18-x) = 77;
sau
-18h x 2 + 77 = 0.
Găsim discriminantul ecuației
Calculăm rădăcini
Dacă x = 11. apoi 18 x = 7. opusul este adevărat (dacă x = 7, apoi 21 x = 9).
Sarcina 6. descompună pătrat 10x -11x + 2 = 0 Ecuația 3 factorizations.
Soluție: Se calculează rădăcinile ecuației, pentru a găsi că discriminante
Substituind valoarea găsită în rădăcinile formulei și se calculează
Aplicăm formula pentru extinderea rădăcinilor unei ecuații pătratice
Deschiderea parantezele obținem identitatea.
ecuație pătratice cu un parametru
Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului a. Ecuația (a-3) x 2 + (3-a) X 1/4 = 0 este rădăcina?
Soluție: substituirea directă a valorilor unui = 3, vedem că nu are nici o soluție. În continuare, vom folosi faptul că ecuația discriminantă zero, are multiplicitatea o rădăcină 2. Scriem discriminantă
Am simplifica și echivala cu zero
A primit ecuația pătratică pentru parametrul a. o soluție care este ușor pentru a obține pe Vieta teorema. Rădăcinile sumă este egală cu 7 și produsul lor este 12. simplă căutare a stabilit că numărul 3.4 va fi rădăcini ale ecuației. Deoarece soluția A = 3, am respins deja la începutul calcul, este drept - a = 4. Astfel, atunci când a = 4 ecuația are o radacina.
Exemplul 2. Pentru care valorile parametrului a. și ecuația (a + 3) x 2 + (2a + 6) x-9-3a = 0 are mai mult de o rădăcină?
Soluție: Considerăm mai întâi condițiile speciale, acestea sunt valorile unei = 0 și un = -3. Când a = 0, ecuația este simplificată la forma 6x-9 = 0; x = 3/2 și este una rădăcină. Când a = 0 obținem identitatea -3 = 0.
Calculăm discriminante
și pentru a găsi valorile și în care este pozitiv
Cu prima condiție, obținem un> 3. Pentru a găsi a doua discriminant și rădăcini
Definiți intervalele în care funcția ia valori pozitive. Înlocuind punctul a = 0 obținem 3> 0. Deci, dincolo de perioada (-3; 1/3) funcția negativă. Nu uita despre punctul a = 0. care ar trebui să fie eliminată, deoarece ecuația originală are o rădăcină.
Ca rezultat, vom obține două intervale care îndeplinesc condițiile problemei
Probleme similare în practică va fi o mulțime, încercați să se ocupe de sarcinile pe cont propriu și nu uitați să ia în considerare condițiile care se exclud reciproc. Un bun privire la formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, acestea sunt destul de des necesare în calcule în diferite sarcini și științelor.