Construirea unei matrice a unui operator liniar - studopediya

2.1. Construirea unei matrice printr-un afișaj cu formula dată.

Să presupunem că maparea definită prin formula

adică pentru coordonatele unui vector inițial arbitrar definit de coordonatele imaginii sale. Apoi, în loc de a considera arbitrar vector vector x. găsi drumul său, acesta va fi un vector. Pentru a face acest lucru în formula care definește imaginea vectorului, noi credem. ...,. În mod similar, vom găsi imagini pentru ...,. Din coordonatele vectorului imagine este coloana 1-lea a matricei unui operator liniar, similar cu vectori de coordonate ulterioare - alte coloane. Luați în considerare următorul exemplu.







Exemplul 1. Să presupunem că operatorul este dat de formula:

În primul rând, demonstrăm că această hartă este - într-adevăr un operator liniar. Afișează suma vectorilor:

Acum, fiecare coordonată a vectorului rezultat poate fi convertit:

În mod similar, pentru un factor constant:

Pentru a găsi matricea unui operator liniar, este necesar, așa cum sa menționat mai sus, substituie x1 valori = 1, x2 = 0, atunci x1 = 0, x2 = 1. În acest exemplu, imagini ale vectorilor de referință - respectiv (3, 1) și (2, -1). Prin urmare, matricea operatorului liniar va fi:

Într-un mod similar pentru a rezolva problema și pentru 3 sau mai multe variabile.

Noi construim un operator de matrice. Prin afișarea vectorului (1,0,0), obținem (1,4, -1), respectiv (0,1,0) devine (2,1, -2) și vectorul (0,0,1) - un (-1,1,3). matrice operator liniar:

2.2. Generarea matricei, în cazul în care sursa este cunoscută și vectorii de bază ai sistemului în care este afișat.







Având în vedere un sistem de n vectori care formează o bază și orice sistem arbitrar de n vectori (eventual linear dependent), atunci în mod clar definit de mapare operator liniar fiecare vector mai întâi într-un sistem de vector adecvat al doilea sistem.

Matricea acestui operator poate fi găsit în două moduri: prin folosirea matricei inverse și cu ajutorul unui sistem de ecuații.

Să - matrice în bază. Prin ipoteză, pentru toți indicii. N Aceste ecuații pot fi scrise ca o ecuație singură matrice :. cu coloanele matricei - sunt vectori. și coloanele matricei - vectori. Apoi, matricea poate fi găsită în formă.

Exemplu. Găsiți matricea unei baze de cartografiere operator liniar

în vectori.

Aici. . . și obținem:

Verificarea se face prin înmulțirea matricei rezultată pentru fiecare vector :.

În mod similar, se poate rezolva astfel de probleme și în spațiul tridimensional. Anexa (§5) există mai multe opțiuni pentru astfel de sarcini.

2.3. Alte modalități de a găsi matricea operatorului.

Există, de asemenea, exemple în care operatorul liniar specifică alte modalități, altele decât cele discutate în Sec. 2.1 și 2.2.

Exemplu. Operatorii liniare sunt ambele drept și multiplicarea vectorului lăsat printr-un vector fix în spațiul tridimensional, adică, tipul și afișajul. Am construi o matrice a unuia dintre acești operatori .Pentru acest lucru vom găsi imagini ale celor trei vectori de bază ale unui spațiu liniar. .

Coordonate vectori derivați pot fi scrise sub forma unei matrice coloană a operatorului.

În mod similar, putem construi o matrice a unui operator liniar:

Exemplu. operator diferențial liniar în spațiul de polinoame de grad cel mult n. Acest spațiu de dimensiune n + 1. Să luăm ca bază elementele. . ...,.

Matricea unui operator liniar:

Operatorii lineari pot afișa nu numai dimensiunea finală a spațiului, dar, de asemenea, spațiul infinit. Astfel, operatorul de diferențiere poate fi considerată ca fiind spațiul tuturor funcțiilor continue. (În acest spațiu, nici o bază finită). În acest caz, în mod evident, operatorul nu poate fi specificat matricea ordin finit.