Cinematica unui punct material

Basic cinematica punctului material cu formula

Prezentăm Formula de bază cinematicii punctului material. După aceea ne-am da derivare și discutarea teoriei lor.

Vectorul raza punctului de material M într-un dreptunghiular de coordonate Oxyz sistem:






,
în care - versorii (vectori) în direcția axelor x, y, z.

Viteza punct:
;
.
.
Versorul în direcția tangenta la traiectoria:
.

Tangențială (forfecare) Accelerație:
;
;
.

versorul îndreptat spre centrul de curbură al traiectoriei punctului (de-a lungul principal normale):
.

Raza de curbură a traiectoriei:
.

Următoarele este o derivație a acestor formule și expunerea teoriei cinematicii punctului material.

Vectorul rază și traiectoria punctului

Să considerăm mișcarea punctului material M. Am ales un sistem dreptunghiular fix la un punct fix coordonate O. Oxyz cu poziția centrală a punctului M apoi unic definit prin coordonatele sale (x, y, z). Aceste coordonate sunt componentele vectorului raza punctului material.

Vectorul raza punctului M - este un vector. trase din sistemul fix de coordonate la punctul O M.
,
în care - vectorii unitate de-a lungul axelor x, y, z.

Când mișcarea unui punct, coordonatele schimba cu timpul. Asta este, ele sunt funcții de timp. Apoi, sistemul de ecuații
(1)
Ea poate fi privită ca o ecuație a curbei definită prin ecuațiile parametrice. O astfel de curbă este traiectoria unui punct.

Traiectoria unui punct material - aceasta este linia de-a lungul căreia mișcarea punctului de loc.

În cazul în care mișcarea unui punct într-un plan, puteți selecta axa și sistemul de coordonate în așa fel încât acestea se află în avion. Apoi traiectoria este determinată de cele două ecuații

În unele cazuri, aceste ecuații pot elimina din timp. Apoi, ecuația traiectoriei va avea o relație de forma:
.
în cazul în care - o funcție. Această dependență are doar variabile și. Acesta nu conține parametru.

Viteza punctului material

Viteza punct material - este un derivat al vectorului razei în raport cu timpul.

Prin definiție, viteza și definirea derivatului:

Derivații cu privire la timp, în mecanică, denota punct deasupra unui simbol. Înlocuim expresia vectorului rază:
.
în cazul în care am identificat în mod clar dependența de coordonatele de timp. obținem:

- proiecția vitezei pe axa de coordonate. Acestea sunt obținute prin diferențierea componentei vector raza
.

astfel
.
Unitate de viteză:
.

Tangenta la traiectoria

Din punct de vedere matematic, sistemul de ecuații (1) poate fi considerată ca o ecuație a unei linii (curba) definită prin ecuațiile parametrice. Timpul. Într-o astfel de analiză, joacă rolul unui parametru. Desigur analizei matematice este cunoscut faptul că vectorul direcția tangentei la această curbă are următoarele componente:
.
Dar aceasta este o componentă a vectorului de viteză al punctului. Aceasta este viteza punctului material este tangentă la traiectoria.

Tangenta la traiectoria punctului

Toate acestea pot fi demonstrate în mod direct. Să presupunem că la punctul de timp stocat în poziția vectorului razei (vezi. Figura). Și la momentul - în poziția vectorului rază. Prin și de a trage o linie. Prin definiție, tangenta - este o linie. Acesta are ca scop direct la.
Introducem notația:
;
;
.
Apoi, vectorul este direcționat de-a lungul liniei.

La aspirație. Direct tinde să tangenta. și vectorul - la viteza punctului în timp.
.
Deoarece vectorul este direcționat de-a lungul liniei. și linia de la. vectorul viteză este direcționat de-a lungul tangentei.
Adică, vectorul viteză al punctului material este direcționat de-a lungul tangenta la traiectoria.

Introducem vectorul direcție tangentă unitate de lungime:
.
Arătăm că lungimea acestui vector este egal cu unu. Într-adevăr, din moment ce
. atunci:
.

Apoi, vectorul viteză al punctului poate fi reprezentat ca:
.

Mai mult, noi credem că în cazul în care scrisoarea cantității vectorului nu este o săgeată, aceasta reprezintă un vector unitate.

Accelerarea punctului material

Accelerarea unui punct material - acesta este un derivat în ceea ce privește rata de timp.

În mod similar cu cele de mai sus, obținem componentele accelerației (proiecție de accelerare pe axele de coordonate):
;
;
;
.
Modul de accelerare:
.

Tangențială (tangenta) și accelerația normală

Acum, ia în considerare problema direcția vectorului accelerație în ceea ce privește traiectoria. La aceasta vom aplica formula:
.
Am diferenția în timp, aplicarea regulii pentru diferențierea unui produs:
.

Vector este direcționat de-a lungul tangenta la traiectoria. În ce direcție exact derivatul său în raport cu timpul.

Pentru a răspunde la această întrebare, vom folosi faptul că lungimea vectorului este constantă și egală cu unitatea. Apoi pătratul lungimea sa este de asemenea egală cu unitatea:
.
Aici și în continuare, doi vectori din paranteze denotă produsul scalar al vectorilor. Ne diferentiem această ecuație în funcție de timp:
;
;
.
Deoarece produsul scalar a doi vectori și este egal cu zero, atunci vectorii sunt perpendiculare una pe cealaltă. Deoarece vectorul este direcționat de-a lungul tangentei la calea, atunci vectorul este perpendicular pe tangenta.

Prima componentă menționată ca o accelerație tangențial sau tangențial:
.
A doua componentă este denumită accelerație normală:
.
Apoi accelerația totală:
(2).
Această formulă reprezintă o accelerare de descompunere în două componente perpendiculare reciproc - tangenta la traiectoria și perpendicular pe tangenta.

Tangențială (tangent) Acceleration

Înmulțind ambele părți ale ecuației (2) pe produsul scalar.
.
Deoarece. atunci. atunci
;
.
Aici am pus:
.
Acest lucru arată că accelerația tangențială egală cu accelerația proiecției integrale a direcției de tangenta la traiectoria, sau, echivalent, direcția vitezei punctului.

Tangențială (tangent) accelerația punctului material - este proiecția accelerației deplină în direcția tangenta la traiectoria (sau direcția vitezei).

Simbolul notam accelerația tangențială vectorul dirijat de-a lungul tangenta la traiectoria. Apoi - aceasta este o cantitate scalară egală cu proiecția accelerației totale în direcția tangentei. Acesta poate fi pozitiv sau negativ.

Substitut în formula:
.
apoi:
.
Aceasta este accelerația tangențială este derivata din modulul punctului de viteză. Astfel, accelerația tangențială determină o schimbare în valoarea absolută a punctului de viteză. Odată cu creșterea vitezei, accelerația tangențială este pozitivă (sau direcționată de-a lungul vitezei). Când reducerea vitezei de accelerare tangențială este negativ (sau viteza direcționată opus).

Raza de curbură a traiectoriei

Acum vom examina vectorul.

Raza de curbură a traiectoriei

Luați în considerare tangenta vectorul unitate la calea. Pune-l înapoi la originea sistemului de coordonate. Apoi, capătul vectorului va fi pe unitatea de sferă. Când mișcarea unei particule, capătul vectorului va trece prin această zonă. Asta este, se va roti în jurul valorii de originea sa. Să - vectorul instantaneu viteza unghiulară la un moment dat. Apoi, derivatul său - este viteza sfârșitul vectorului. Este perpendicular pe vectorul. Aplicăm formula pentru o mișcare de rotație. modul vector:
.

Acum, ia în considerare poziția unui punct pentru două momente apropiate de timp. Să presupunem că la momentul punct este setat. și la un moment dat - în stat. Să - vectorii unitate dirijate de-a lungul tangenta la traiectoria la aceste puncte. Prin punctele și se desenează un plan perpendicular pe vectorii și. Să - o linie dreaptă formată prin intersecția acestor avioane. Din punctul picătură o perpendicular pe linia. În cazul în care pozițiile punctelor sunt destul de aproape, mișcarea punctului poate fi considerată ca raza de rotație în jurul axei circumferinței. care va fi axa instantanee de rotație a punctului material. Deoarece vectorii și sunt perpendiculare pe avioane și. unghiul dintre cele două planuri egal cu unghiul dintre vectorii și. Apoi, viteza instantanee de rotație a unui punct în jurul axei de rotație este egală cu vectorul viteză instantanee.
.
Aici - distanța dintre punctele și.

Așa că am găsit un vector derivat modul de timp.
.
Așa cum am arătat mai sus, un vector perpendicular pe vectorul. Din discuția de mai sus este evident că aceasta este îndreptată spre traiectoria centrului instantaneu de curbură. Această direcție se numește principalul normal.

accelerație normală

direcționat de-a lungul vectorului. Așa cum am văzut, acest vector este perpendicular pe tangenta la partea laterală a centrului instantaneu de curbură a traiectoriei.
Să - un vector unitate direcționat dintr-un punct material al unui centru instantaneu de curbură a căii (de-a lungul principalului normale). atunci
;
.
Deoarece ambele vector și au aceeași direcție - spre centrul de curbură a traiectoriei,
.

Din formula (2) avem:
(4).
Din formula (3) vom găsi modul de accelerare normală:
.

Înmulțind ambele părți ale ecuației (2) pe produsul scalar.
(2).
.
Deoarece. atunci. atunci
;
.
Acest lucru arată că modulul de accelerație normală este proiecția a accelerației totale în direcția principală normală.

accelerația normală a unui punct material - proiecția accelerației întregime pe direcția perpendiculară pe tangenta cale.

Înlocuim. atunci
.
Adică, accelerația determină o schimbare în direcția punctului de viteză și este asociată cu o rază de curbură a traiectoriei.

De aici puteți găsi raza de curbură a traiectoriei:
.

În concluzie, observăm că formula (4) poate fi rescrisă sub forma:
.
Aici vom aplica formula pentru produsul transversală a celor trei vectori:
.
care a fost încadrată
.

Astfel, avem:
;
.
Egalăm module de stânga și din dreapta:
.
Dar vectorii și sunt reciproc perpendiculare. prin urmare
.
atunci
.
Este cunoscut din formula geometrie diferențială pentru curbura curbei.